Tinerfeño de nacimiento, Roberto empezó a practicar tenis a la edad de tres años ya en Granada, donde creció y se formó en el deporte de la raqueta en el Club Garros de Otura bajo las directrices de José María Garrido. Campeón de España cadete en 2009, al año siguiente se proclamó subcampeón de España junior y subcampeón de Europa junior de dobles junto al castellonense Andrés Artuñedo, se anotó varios títulos en el circuito mundial ITF Junior (Ribarroja, Rabat-Riad 21 y Mohammedia en Marruecos y Berlín en Alemania) y se convirtió a los 17 años en el segundo español más joven en conquistar el título en un torneo Future, en Oviedo ante el también español Pablo Carreño.
Aunque sus primeros logros de relumbrón le llegaron en 2011, a los 18 años: primero se anotó el título de dobles de Roland Garros junior junto al castellonense Andrés Artuñedo ante los estadounidenses Mitchell Krueger y Shane Vinsant; y en julio se proclamó campeón de Europa sub-18 en individuales, tras vencer en la final al búlgaro Dimitar Kuzmanov por 7-5 y 7-6(2), y por parejas, junto al gaditano Ricardo Ojeda batiendo en la final a los eslovenos Matej Leljak y Nik Razborsek por 6-4 y 6-1.
A partir de ahí inició una carrera profesional ascendente en la que se anotó nueve títulos individuales y cuatro en dobles de la categoría Future entre 2010 y 2014; así como ocho individuales en Challenger desde 2015. Por fin en febrero de 2018 se adjudicó su primer título ATP en la tierra batida de Quito (Ecuador) batiendo en la final a otro español, Albert Ramos, por 6-3, 4-6 y 6-4. Un triunfo que le permitió subir al 72.º puesto del ranking ATP, su tope. Ya en 2020 se estrenó igualmente en la modalidad de dobles al imponerse en el ATP 250 de Santiago de Chile (Chile) junto al malagueño Alejandro Davidovich, derrotando en la final al salvadoreño Marcelo Arévalo y al británico Jonny O’Mara por 7-6(3) y 6-1.
Asiduo del top-100 mundial, el granadino logró en Roland Garros 2020 alcanzar la tercera ronda, su mayor logro en el Grand Slam. Tras más de una década entrenando en Barcelona y Alicante, a principios de 2021 decidió retornar a Granada y volver con su primer entrenador, José María Garrido.
En el verano de 2021 fue incluido en el equipo español para competir en los Juegos Olímpicos de Tokio, pero el tenista andaluz no pudo demostrar toda su calidad y en su debut en el cuadro individual, el día 24 de julio en el Parque de Tenis de Ariake, cedió claramente ante el georgiano Nikoloz Basilashvili, que se impuso al granadino en la primera ronda (1/32 de final) por dos sets a cero (6-3 y 6-2) tras una hora y 13 minutos.
Tampoco le fueron mejor las cosas por parejas al día siguiente, pues Carballés y el conquense Pablo Andújar cayeron derrotados igualmente en la primera ronda ante los italianos Lorenzo Musetti y Lorenzo Sonego, en dos sets (5-7 y 4-6) y tras una hora y 37 minutos de partido. Fue un duelo igualado, en el que los españoles solo sumaron cuatro puntos ganados menos que los transalpinos (29 por 33).
Biografía actualizada a 27 de diciembre de 2021