Profesional desde finales de ese año, en marzo de 2018 conquistó su primer Future en Quinta do Lago (Portugal), sobre cemento ante el también español Roberto Ortega, y en el tramo final de 2019 sus dos primeros torneos Challenger: en la tierra batida de Sevilla ante otro español, Jaume Munar; y en cemento en Liuzhou (China) ante el uzbeko Denis Istomin.
Dentro del circuito de la ATP aún no ha ganado ningún trofeo en individuales, pero en febrero de 2020 sí levantó el de dobles en Santiago de Chile (Chile) junto al citado Roberto Carballés, derrotando en la final al salvadoreño Marcelo Arévalo y al británico Jonny O’Mara por 7-6(3) y 6-1. En cuanto a los torneos de Grand Slam ha obtenido significativos resultados pese a su juventud: en 2020 llegó a la cuarta ronda del Abierto de Estados Unidos y ya en 2021 avanzó hasta cuartos de final de Roland Garros, siendo en ambos casos frenado por el alemán Alexander Zverev.
Lógica, por tanto, fue su convocatoria para competir en los Juegos de Tokio con el equipo español, que le llegó a los 22 años. Alejandro comenzó su participación en el complejo de Ariake el día 24 de julio en el cuadro individual, deshaciéndose del portugués Pedro Sousa en poco más de una hora por un claro 6-3 y 6-0. Al día siguiente jugó su primer y único encuentro de dobles junto al asturiano Pablo Carreño, pues cayeron ante la pareja colombiana que formaban Juan Sebastián Cabal y Robert Farah en dos sets (2-6 y 4-6) tras una hora y 19 minutos de juego.
Repuesto de ese revés, el jugador diestro malagueño retomó su participación en individuales con una segunda victoria en uno de los partidos más largos del torneo (2 horas y 47 minutos) para imponerse al australiano John Millman por 6-4, 6-7 y 6-3. La bonita historia de Davidovich en Tokio se cerró el 28 de julio al ser derrotado en la ronda de octavos de final por el serbio Novak Djokovic en dos sets (6-3 y 6-1), en 1 hora y 23 minutos. El tenista andaluz no pudo hacer nada ante el gran favorito para la medalla de oro. En el primer set, Djokovic rompió el saque de Davidovich en su segundo servicio y ya se dedicó a mantener la ventaja para imponerse por 6 a 3. La segunda manga tuvo aún menos historia, ya que el serbio condujo continuamente a Álex a cometer errores no forzados y se impuso claramente por 6 a 1.
La medalla de oro fue para un conocido de Davidovich, el alemán Alexander Zverev, en tanto que el compañero del malagueño en dobles, Pablo Carreño, dejó a su verdugo Djokovic sin medalla en el partido por el bronce.
Por lo demás, Alejandro recibió el Premio Andalucía de los Deportes 2020 como mejor deportista masculino.
Biografía actualizada a 28 de diciembre de 2021